来自 编程 2019-09-27 11:02 的文章
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(3)能被3整除的数的特征,最后两位可以整除

  今天佛了,魔鬼周一,在线教学,有点小累,但还好,今天AC了一道,每日一道,还好达成目标,还以为今天完不成了,最近任务越来越多,如何高效完成该好好思考一下了~最重要的还是学业的复习和预习。

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(转自百度百科: ,复习数学无意翻到了。这些特征挺有意思的,感觉回到了小学奥数课堂……qwq,没错其实我才小学三年级)

2,5

末尾数是偶数,因为10a+b

------------------------------------------------题目----------------------------------------------------------

能被整除的数的特征

3,9

所有位相加可以被3整除,因为10a+b=(9+1)*a+b

Polycarp and Div 3

Polycarp likes numbers that are divisible by 3.

He has a huge numberss. Polycarp wants to cut from it the maximum number of numbers that are divisible by33. To do this, he makes an arbitrary number of vertical cuts between pairs of adjacent digits. As a result, aftermmsuch cuts, there will bem+1m+1parts in total. Polycarp analyzes each of the obtained numbers and finds the number of those that are divisible by33.

For example, if the original number iss=3121s=3121, then Polycarp can cut it into three parts with two cuts:3|1|213|1|21. As a result, he will get two numbers that are divisible by33.

Polycarp can make an arbitrary number of vertical cuts, where each cut is made between a pair of adjacent digits. The resulting numbers cannot contain extra leading zeroes (that is, the number can begin with0if and only if this number is exactly one character '0'). For example,007,01and00099are not valid numbers, but90,0and10001are valid.

What is the maximum number of numbers divisible by33that Polycarp can obtain?

常用辨别方法

(1)1与0的特性:

1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.

0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.

(2)能被2整除的数的特征

若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。

(3)能被3整除的数的特征

1,若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。

2,由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。如111令3整除。

(4)能被4整除的数的特征

若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。

(5)能被5整除的数的特征

若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。

(6)能被6整除的数的特征

若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。

(7)能被7整除的数的特征

1.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。同能被17整除的数的特征。

2.末三位以前的数与末三位以后的差(或反过来)。同能被11,13整除的数的特征。

(8)能被8整除的数的特征

若一个整数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。

(9)能被9整除的数的特征

若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。

(10)能被10整除的数的特征

若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。

(11)能被11整除的数的特征

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!

(12)能被12整除的数的特征

若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。

 

4,25

最后两位可以整除,因为100=4*25

Input

The first line of the input contains a positive integerss. The number of digits of the numberssis between11and2⋅1052⋅105, inclusive. The first digit is not equal to0.

其他辨别方法

(13)能被13整除的数的特征

若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程,直到能清楚判断为止。

(14)能被17整除的数的特征

1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,同能被7整除的特征一样。

2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。

(15)能被19整除的数的特征

1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续使用能被13整除特征的方法。

2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。

(16)能被23整除的数的特征

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。

 

8,125

最后三位可以整除,因为1000=8*125

Output

Print the maximum number of numbers divisible by33that Polycarp can get by making vertical cuts in the given numberss.

统一方法

设整数x的个位数为a,判断其是否能被n整除:令(x-a)/10-ma=nk(k∈N*),则x=n[10k+(10m+1)a/n],要使x能被n整除,只要(10m+1)/n为自然数。

6

同时被2和3整除,各位数字之和是3的倍数的偶数

Examples

7,11,13,9

去掉最后3位的数-最后3位的数能被整除
证明:利用1001=7x11x13的特性
1000a+b
=(1001-1)a+b
=1001a-(a-b)
同样适用于9

input

3121

11

  1. 奇数位和和偶数位和的差能被11整除
    证明:
    注意到下列事实:
    一 99,9999,……,偶数位纯9数必能被11整除;
    二 1001,100001,……,中间的0的个数为偶数的10……01必能被11整除。
    下面证明,为易懂,以3位数为例。
    10000a+1000b+100c+10d+e
    =(9999a+a)+(1001b-b)+(99c+c)+(11d-d)+e
    =9999a+1001b+99c+11d+[(a+c+e)-(b+d)].
    因为9999a+1001b+99c+11d能被11整除,
    所以,只要(a+c+e)-(b+d)能被11整除,原五位数就能被11整除,

  2. 分成2位一组,各组数相加能整除
    证明:以4位数为例
    100a+b
    =(99+1)a+b
    =99a+(a+b)

output

 2

摘录

整除规则第一条(1):任何数都能被1整除。
整除规则第二条(2):个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
整除规则第三条(3):每一位上数字之和能被3整除,那么这个数就能被3整除。
整除规则第四条(4):最后两位能被4整除的数,这个数就能被4整除。
整除规则第五条(5):个位上是0或5的数都能被5整除。
整除规则第六条(6):一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除。
整除规则第七条(7):把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除。
整除规则第八条(8):最后三位能被8整除的数,这个数就能被8整除。
整除规则第九条(9):每一位上数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除。
整除规则第十条(10): 若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除
整除规则第十一条(11):将一个数从右往左数,将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加,然后将两个数的和相减,如果差值能被11整除(包括差值为0)则原数可以被11整除。
整除规则第十二条(12):若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
澳门三合彩票,整除规则第十三条(13):若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
整除规则第十四条(14):a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
整除规则第十五条(15):a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
整除规则第十六条(16):若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除,则这个数能被23整除
整除规则第十七条(17):若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除,则这个数能被29整除
整除规则第十八条(18):若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除,则这个数能被73整除
整除规则第十九条(19):若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除,则这个数能被137整除
整除规则第二十条(20):若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除
整除规则第二十一条(21):若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除,则这个数能被9091整除
整除规则第二十二条(22):(9的无敌乱切)把一个整数分成若干段之和能被9整除,则这个数能被9整除
整除规则第二十三条(23):(11的无敌乱切)把一个整数分成若干段,每段的末尾为奇数位加,偶数位减,结果能被11整除,则这个数能被11整除
整除规则第二十四条(24):(a)若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除,则这个数能被101整除
(b)若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除,则这个数能被101整除

切记:0 不能做除数!

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